La formula risolutiva
Per l’equazione ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0:
- si calcola il discriminante
Δ = b² − 4ac; - le soluzioni sono
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a.
| Discriminante | Soluzioni |
|---|---|
| Δ > 0 | due reali distinte |
| Δ = 0 | una reale doppia, x = −b ÷ 2a |
| Δ < 0 | due complesse coniugate, `x = (−b ± i√ |
Vertice e relazioni tra le radici
Il grafico di y = ax² + bx + c è una parabola con vertice in x = −b ÷ 2a. Per le soluzioni valgono le relazioni di Viète: la loro somma è −b ÷ a e il loro prodotto è c ÷ a. Quando le soluzioni sono reali, l’equazione si scompone come a(x − x₁)(x − x₂).
Per evitare errori di arrotondamento quando b è molto grande rispetto ad a e c, il calcolatore usa una variante numericamente stabile della formula.
Domande frequenti
Cosa indica il discriminante?
Il numero di soluzioni reali. Se Δ è positivo ci sono due soluzioni distinte, se è zero una sola soluzione doppia, se è negativo nessuna soluzione reale ma due soluzioni complesse coniugate. Graficamente indica se la parabola taglia, tocca o non incontra l'asse x.
Come si scrive la formula risolutiva?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Il segno ± dà le due soluzioni: una con il più e una con il meno davanti alla radice.
Fonti
- Al-Khwarizmi, Kitab al-jabr wa'l-muqabala (IX secolo): risoluzione delle equazioni di secondo grado
- Press WH et al. Numerical Recipes, sezione 5.6: Quadratic and Cubic Equations (formula numericamente stabile)