Progressione aritmetica
Ogni termine si ottiene sommando al precedente la ragione d:
- termine ennesimo:
aₙ = a₁ + (n − 1) × d - somma dei primi n termini:
Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2
È la formula che, secondo la tradizione, il giovane Gauss usò per sommare in un attimo i numeri da 1 a 100: 100 × (1 + 100) ÷ 2 = 5.050.
Progressione geometrica
Ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per la ragione q:
- termine ennesimo:
aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹ - somma dei primi n termini:
Sₙ = a₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q)(se q ≠ 1) - somma infinita, se |q| < 1:
S = a₁ ÷ (1 − q)
Le progressioni geometriche descrivono la crescita composta: interessi, popolazioni, decadimento radioattivo.
Domande frequenti
Come si riconosce una progressione aritmetica?
La differenza tra ogni termine e il precedente è sempre la stessa: 3, 5, 7, 9 ha ragione 2. In una progressione geometrica è invece costante il rapporto: 3, 6, 12, 24 ha ragione 2.
Quando la somma infinita esiste?
Per una progressione geometrica con ragione compresa tra −1 e 1 (esclusi): i termini diventano sempre più piccoli e la somma si avvicina a a₁ ÷ (1 − q). Per esempio 1 + 1/2 + 1/4 + … vale 2.
Fonti
- Gauss e la somma dei primi n numeri naturali; Euclide, Elementi, libro IX, proposizione 35 (somma della progressione geometrica)