Le formule usate
- Teorema del coseno:
c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Permette di trovare un lato da due lati e dall’angolo compreso, oppure un angolo dai tre lati. - Teorema dei seni:
a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ. Serve quando si conoscono due angoli e un lato. - Somma degli angoli:
α + β + γ = 180°. - Formula di Erone:
area = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), conssemiperimetro. - Altezze:
h = 2 × area ÷ lato. - Raggi: inscritto
r = area ÷ s, circoscrittoR = abc ÷ (4 × area).
In ogni triangolo l’angolo α è opposto al lato a, β al lato b e γ al lato c.
Classificazione
Per i lati il triangolo è equilatero (tre lati uguali), isoscele (due uguali) o scaleno. Per gli angoli è acutangolo (tutti minori di 90°), rettangolo (un angolo di 90°) o ottusangolo (un angolo maggiore di 90°).
Domande frequenti
Quando tre lati formano un triangolo?
Quando ciascun lato è minore della somma degli altri due (disuguaglianza triangolare). Con lati 1, 2 e 3, per esempio, il triangolo non esiste: i due lati corti, messi in fila, sono lunghi esattamente quanto il terzo.
Come si calcola l'area conoscendo solo i lati?
Con la formula di Erone: si calcola il semiperimetro s = (a + b + c) ÷ 2 e poi l'area è la radice quadrata di s × (s − a) × (s − b) × (s − c).
Fonti
- Euclide, Elementi, libro II, proposizioni 12-13 (teorema del coseno) e libro I
- Erone di Alessandria, Metrica, libro I (formula dell'area dai tre lati)