La formula
z = (x − μ) ÷ σ
dove x è il valore, μ la media e σ la deviazione standard della popolazione. Il punteggio z permette di confrontare valori presi da distribuzioni diverse: per esempio il voto di due esami con medie e dispersioni differenti.
Le probabilità della normale
Se i dati sono distribuiti normalmente, il punteggio z si traduce in una probabilità tramite la funzione di ripartizione della normale standard Φ(z):
P(X < x) = Φ(z), che moltiplicata per 100 dà il percentile;P(X > x) = 1 − Φ(z);- la probabilità di essere entro ±z dalla media è
2Φ(|z|) − 1.
Valori di riferimento: entro ±1 deviazione standard cade circa il 68,3% dei dati, entro ±2 il 95,4%, entro ±3 il 99,7%.
Domande frequenti
Cosa indica il punteggio z?
Di quante deviazioni standard un valore si discosta dalla media. Un punteggio z di 1,5 significa che il valore è una volta e mezza la deviazione standard sopra la media; un punteggio negativo indica un valore sotto la media.
Il percentile vale per qualsiasi distribuzione?
No. Le probabilità calcolate valgono se i dati seguono una distribuzione normale, la classica curva a campana. Per distribuzioni molto asimmetriche il punteggio z resta una misura di distanza dalla media, ma il percentile può essere molto diverso.